Hitung-hitungan tentunya sangat penting untuk kita ketahui, entah yang bersifat spontanitas maupun ilmiah. Kita dari semenjak Tk telah diajarkan bagaimana agar kita selalu memiliki sikap ingin tahu dan penting sekali hitung-hitungan kita pelajari.
Pada artikel yang satu ini, kami suguhkan tentang Turunan. Disini menemukan banyak informasi yang terdapat pada buku Kemendikbud RI keluaran resmi dari pemerintah.
Materi Matematika Kelas 11 Bab 7 Turunan
7.1 Menemukan Konsep Turunan Fungsi
Turunan merupakan salah satu dasar atau fondasi dalam analisis dan sangat aplikatif untuk membantu memecahkan suatu permasalahan dalam kehidupan sehari-hari.
7.1.1 Menemukan Konsep Garis Sekan dan Garis Tangen
7.1.2 Turunan Sebagai Limit Fungsi
Sifat
Contoh
7.2 Turunan Fungsi Aljabar
Contoh
7.3 Aplikasi Turunan
7.3.1 Konsep Kemonotonan Fungsi
Definisi
Misalkan fungsi f : S → R, S ⊆ R
• Fungsi f dikatakan naik jika “x1, x2 ∈ S, x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2)
• Fungsi f dikatakan turun jika “x1, x2 ∈ S, x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2)
Contoh
Tunjukkan grafik fungsi f(x) = x3, x ∈ R dan x > 0 adalah fungsi naik.
Alternatif Penyelesaian
f(x) = x3, x ∈ R dan x > 0
Ambil sebarang x1, x2 ∈ R dengan 0 < x1 < x2
x = x1 ⇒ f(x1) = x1 3
x = x2 ⇒ f(x2) = x23
Karena 0 < x1 < x2 maka x13 < x23
Karena x13 < x2 3 maka f(x1) < f(x2)
Dengan demikian “x ∈ S, x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2). Dapat disimpulkan f adalah fungsi naik.
7.3.2 Nilai Maksimum atau Minimum Fungsi
Contoh
7.3.3 Nilai Maksimum dan Minimum Fungsi pada Suatu Interval
Contoh
Sebuah partikel diamati pada interval waktu (dalam menit) tertentu berbentuk kurva f(t) = t3 – 9t2 + 24t – 16 pada 0 ≤ t ≤ 6. Tentukan nilai optimal pergerakan partikel tersebut.
Alternatif Penyelesaian
Daerah asal fungsi adalah {t|0 ≤ t ≤ 6}
Titik stasioner f ‘(t) = 0
f(t) = t3 – 9t2 + 24t – 16 sehingga f ‘(t) = 3(t2 – 6t + 8) = 0 dan f “(t) = 6t – 18
f ‘(t) = 3(t – 2)(t – 4) = 0
t = 2 → f(2) = 4 dan t = 4 → f(4) = 0
Karena daerah asal {t|0 ≤ t ≤ 6} dan absis t = 2, t = 4 ada dalam daerah asal
sehingga:
t = 0 → f(0) = –16 dan t = 6 → f(6) = 20.
Nilai minimum keempat titik adalah –16 sehingga titik minimum kurva pada daerah asal adalah A(0, –16) dan nilai maksimum keempat titik adalah 20 sehingga titik maksimum kurva pada daerah asal adalah B(6, 20).
7.3.4 Konsep Turunan Dalam Permasalahan Kecepatan dan Percepatan
Contoh
Pada pengamatan tertentu, sebuah partikel bergerak mengikuti sebuah pola yang merupakan fungsi jarak s atas waktu t, yaitu s(t) = t4 – 6t2 + 12. Tentukanlah panjang lintasan dan kecepatan pada saat percepatannya konstan.
Alternatif Penyelesaian
Diketahui : s(t) = t4 – 6t2 + 12
Ditanya : s(t) dan v(t) pada saat a(t) = 0
Proses penyelesaian
Kecepatan adalah turunan pertama dari fungsi
v(t) = s‘(t) = 4t3 – 12t.
Percepatan adalah turunan pertama dari kecepatan
a(t) = v‘(t) = 12t2 – 12 = 0
⇔ 12(t + 1)(t – 1) = 0.
Jadi, percepatan akan konstan pada saat t = 1 sehingga:
v(1) = s‘(1) = 4(1)3 – 12(1) = –8
s(1) = (1)4 – 6(1)2 + 12 = 7.
7.4 Menggambar Grafik Fungsi
Contoh
Dengan menggunakan konsep turunan, analisis kurva fungsi f(x) = x2 – 2x.
Alternatif Penyelesaian
a. Menentukan titik stasioner (f ‘(x) = 0)
f ‘(x) = 2x – 2 = 0 atau x = 1
Titik stasioner P(1, –1)
b. Menentukan interval fungsi naik/turun
Fungsi naik pada (f ‘(x) > 0)
f ‘(x) = 2x – 2 > 0 atau x > 1
Fungsi turun pada (f ‘(x) < 0)
f ‘(x) = 2x – 2 < 0 atau x < 1
c. Menentukan titik belok (f “(x) = 0)
f “(x) = 2 ≠ 0
Tidak ada titik belok
d. Menentukan titik optimum
Uji titik stasioner ke turunan kedua fungsi
f “(x) = 2 > 0 disebut titik minimum di P(1, –1).
Daftar Pustaka :
Sudianto Manullang, Andri Kristianto S., Tri Andri Hutapea, Lasker Pangarapan Sinaga, Bornok Sinaga, Mangaratua Marianus S., Pardomuan N. J. M. Sinambela. 2017. Matematika SMA/MA/SMK/MK Kelas XI. Jakarta : Pusat Kurikulum dan Perbukuan, Balitbang, Kemendikbud.
